읽고 싶지만 잘 안 읽히는 책3

1장 1)도박필승법. 사전 작업 이해   주사위에 어떤 특별한 버릇이 없다면 어떤 가능성도 같은 확률로 발생하므로 1이 나올 확률은 1/6로 표현된다. 두 주사위가 동시에 1인 경우는 36가지 중 1가지 이므로 1/6×1/6 으로 표현되어 1/36이다. 두 주사위가 독립적으로 일어나 서로의 숫자의 눈에 영향을 미치지 않는다. '두 가지 일이 독자적으로 일어나는 확률은 각각의 확률의 곱이다' 도박에서 지지 않는 방법   동전 던지기 내기를 한다면 특별한 버릇이 없다면 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 1/2이다. 앞면이 나올 확률을 p, 뒷면이 나올 확률을 q, 두개의 확률은 p+q = 1이다. 앞면이 나오면 1원을 얻고, 뒷면이 나오면 1원을 내주는 내기를 한다. 두 번 연속해서 던졌을 때 두번 다 앞면이 나올 확률은 p×p=p² n번 연속해서 던졌을 때 모두 앞면이 나올 확률은 pⁿ m원을 가지고 1원씩 걸고 내기를 하기로 한다. m원이 N원이 되면 그만 두기로 하자. 이렇게 될 확률을 P(m, N)으로 표현하자. m원이 0원이 되어 파산할 확률은 따라서 1- P(m, N)이다.   예를 들어 10원을 가지고 20원이 될 확률은 P(10, 20)이다. P(10,20) = 1/2이라면 10원을 가지고 20원이 될 확률과 파산할 확률은 반반이다.   P(m, N)을 확률 p와 q로 표현하여 공식을 도출하면(이 과정은 좀 복잡하므로 오구리 교수 사이트 참조) 사진(!!) 이제 앞면이 나오면 1원 얻고, 뒷면이 나오면 1원을 내주는 도박장에 갔다. 그런데 도박장 주인이 동전을 p=0.47, q=0.53으로 조금 손을 가했다고 하자. 윗 공식을 이용하면 P(10, 20)=약 0.23 이 된다. 파산할 확률은 77%가 된다. 동전에 단 3퍼센트 뒷면이 나올 버릇을 가지게 했을 뿐인데 파산할 확률은 50%에서 77%로 올라간다.   판돈이 커지면 더 비참해진다. P(50, 100) = 약 0.0025 즉 0.25%로 이길 가망은 없다.   카지노 경영이 돈을 버는 이유가 여기서 나온다. 룰렛에서 1~18은 빨강, 19~36은 검정이다. 빨강이나 검정이 나올 확률은 1/2지만 룰렛에는 0과 00의 포켓이 있다. 이 두 개의 포켓 중 어느 쪽에나 구슬이 들어가면 카지노 주인이 돈을 가져간다. 따라서 빨강이냐 검정이냐를 가지고 도박을 한다면 손님은 p=18/36 약 0.47로 위의 3퍼센트의 버릇이 있는 동전을 던지는 것과 같다. 50원을 가지고 1원씩 걸어서 배로 만들려고 한다면 99.75퍼센트 확률로 파산한다.   여기서 거꾸로 확률을 바꾼다면 50원을 100원으로 만들 수 있는 확률은 99.75퍼센트가 된다. 이 정도면 운이 엄청나게 나쁘지 않은 이상 100원으로 가져갈 수 있다. P(m, N)의 식은 여러 가지를 말해 준다. 먼저 '조금이라도 불리한 도박은 절대 해서는 안된다.' 반대로 p를 1/2보다 조금이라도 크게 만들면 승리할 수 있다. 겨우 3퍼센트 유리할 뿐인데 50원을 배로 만들 수 있는 확률은 99.75퍼센트이다. 이런 종류의 도박에서 '아주 조금이라도 유리할 때 충분한 돈을 가지고 시작하면 거의 확실하게 이긴다.'

1장 2)유방암 검진을 받을 의미가 있는가? 사전 작업 이해. 두가지 사건이 서로 독립적이지 않을 때, 두 사건의 확률 관계. 독립적이라면 동시에 일어날 확률은 곱하면 되지만, 서로 독립적이지 않다면, 다른 값이 나온다. p(a->b) a이면(조건) b인 확률 ;;조건부 확률 p(a) 전체에 대한 a인 확률 마찬가지로 p(b->a) b이면 a인 확률 p(b) 전체에 대한 b의 확률 그리고 이 관계는 p(a)p(a->b)=p(b)p(b->a) 로 성립한다. 풀어보면 증명이 된다. 양쪽 다 전체에 대한 a이고 b인 확률이다. 이를 베이즈 정리라고 한다. 건강하게 장수할 확률을 늘리려면 앞 서 도박에서 지지 않는 방법을 통해 살펴 본다면 계속 조금이라도 유리한 상태를 늘려야 하는 것이므로, 매년 꼬박꼬박 건강진단을 받는 일은 중요하다. 그런데 미국정부의 예방의학 작업부회가 '40대 여성의 유방암 정기검진을 권장하지 않는다'는 발표를 해서 화제가 되었다. 유방암에 걸렸을 때 검진에서 양성결과가 나올 확률은 90퍼센트다. p(유방암->양성)=0.9(그럼 검진을 받아야 하는 것 아닌가?) p(양성->유방암)=?(그런데 여기서 이걸 알고 싶은거다) 여기에 베이즈 정리를 대입해 보자. p(양성)p(양성->유방암)=p(유방암)p(유방암->양성) p(양성->유방암)을 계산해 보자. 최근 통계에 따르면 40대 여성이 유방암에 걸릴 확률은 0.8퍼센트이다. 그리고 검진을 받고 양성이 나올 확률은 8퍼센트다. 즉, p(유방암)=0.008 p(양성)=0.08 이를 계산하면 p(양성->유방암)=0.09 이다. 즉, 양성 결과가 나왔을 때 유방암에 걸려 있을 확률은 겨우 9퍼센트다. 따라서 90퍼센트 이상이 검사결과가 잘못되어 유방암이 아닌데 양성으로 나온다는 거다. 양성이라면 생체조직검사 등 보다 부담이 큰 검사를 받게 되고, 심리적 충격도 크다. 그런데 검진을 받는 것에도 리스크가 있지만, 암을 놓 칠 리스크도 있다. 그래서 미국암협회는 작업부회의 권고에 반대하는 성명을 발표했다. 여기서 흥미로운 점은 40대 여성이 유방암 검진에서 양성이 나왔을 경우, 다시 한번 더 검사를 받는다면 어떨까? 위에서 <양성인 사람들 중>에서 유방암에 걸린 확률은 9퍼센트다. 이를 다르게 표현하면, p(유방암)=0.09이다. 이 여성들이 2번째 검진에서도 양성일 확률은 p(양성) = 0.14이다. p(유방암->양성)=0.9(위) 다시 한번 베이즈 정리를 사용하면 p(양성->유방암)=0.58이 나온다. 0.58=0.09곱하기0.9나누기0.14 임. 재검사에서 양성이면 확률은 58퍼센트로 상승한다. 베이즈 정리를 이용하면 새로운 정보를 얻을 수 있고, 확률이 어떻게 수정되어 가는지 알 수 있다. '경험으로 배운다'는 것을 수학적으로 표현할 수 있는 것이다. 즉, 확률의 숫자들을 파악하고 이 의미를 이해하고 판단할 수 있으며, 정보를 가지고 수정해 나가면서 판단하게 된다.

'경험으로 배운다'는 의미를 다시 한번 꼽씹어 보면, 새로운 정보를 얻었을 때 이제까지의 판단을 바꿀 수 있는 용기와 유연한 마음을 가져야 한다. 과학자는 가설을 세우고 그 가설에 맞지 않는 것이 나타났을 때 가설의 확장을 통해 진보한다. 과학은 반증이 가능할 때 과학인 것이다. 베이즈의 정리는 이런 사실을 우리에게 알려 준다.

2장. 기본원리로 되돌아 가 본다. 수학은 어떤 사태를 매달아 놓고 생각할 때, 중요한 도구가 될 수 있다. 수학의 성립 그 자체를 깊이 생각한 것은 그리스인들이 처음이었다. 유클리드의 <원론>은 5가지의 규칙(공리)를 통해 도형의 성질을 해명한다. 공리를 기본원리로 삼고 기하학을 만들어 나갔다. 우리는 무의식적으로 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙, 1의 성질(수의 기본원리)을 가지고 계산한다. 화폐가 발명되고 임대 임차를 하게 되면서 뺄셈이 필요해 졌고, 이로 영과 음수가 발견되었다. 새로운 수가 나왔으므로 이 수를 계산 할 때의 규칙을 정해야 하는데, 이제까지의 규칙을 확장된 것에도 적용시키는 것이 확장을 이끌어 가는 기본 약속이다. 자연수를 사용한 계산 방법은 문명의 시작 때부터 있었지만, 영이 발견된 것은 1400년 정도 밖에 되지 않는다. 여기서 (-1) 곱하기 (-1) 은 왜 1이 되는가? 이는 기본원리로 설명할 수 있다. 기본 규칙에서 도출 되는 것이다.(과거의 일들로 생각하면 직관적으로 이해할 수 도 있다.) 우리는 수의 세계를, 뺄셈을 자유롭게 하기 위해 영과 음수로 확장했고, 나눗셈을 자유롭게 하기 위해 분수를 생각했고.... 무리수로 확장했고... 허수를 확장했고....

공리, 법칙, 정리 들이 무너지지 않는 방식으로의 확장이 기본 약속인 이유는.. 일단 그래야 다시 그 공리를 다시 생각해 볼 수도 있을 것이고.. 그 공리를 통해 만들어진 세계도 의의를 갖게 되지 않을까 생각해 본다. 그 공리에 의해 만들어진 세계가 우리의 직관을 무너트리는 지경까지 이르기도 한 것 같은데.. 하지만 그 논리적 세계에서는 참 임을 드러낸다.